Công thức của mô hình EWMA

     Các dòng tiếp theo cột thứ ba sử dụng công thức của mô hình EWMA. Quá trình đòi hỏi đưa vào các hệ số để chúng ta có thế xác định hàm khả năng cực đại. Bằng cách cực đại hóa hàm khả năng, ta tim ra những giá trị tham số đúng. Các phép tính trong bảng 16.1 sử dụng ước lượng tốt nhất của A. Bắt đầu với quan sát thứ ba, ta tính toán ước lượng mói của phương sai tức thì . Theo ước lượng của EWMA, các tham số GARCH trở thành co=0, Ị3=A và a=l-A và công thức. Sử dụng những giá trị đó, ta tìm ra giá trị thứ hai của ước lượng phưomg sai tức thời quá khứ, 0,000225. Với những ngày tiếp theo, công thức đó được sử dụng từng bước cho tới khi đi tới điểm kết thúc của chuỗi các quan sát. Hàm khả năng logarit tính tồng k lần.
     Nếu ta có tồng cộng t+2 quan sát thu nhập, tổng sẽ cộng hàm số khả năng logarit này 5 lần. Giá trị của hàm khả năng logarit được cực đại hóa bằng cách chọn A, đứng ở phía j trên cùng của cột cuối cùng 13138,6. Giá trị tương ứng của tham số là À=0,9708, phù hợp với ước lượng thông thưởng (bảng 16.1).

mô hình EWMA

Vì hàm số có thể có nhiều điểm cực đại, vân đề là tìm điểm cao nhất của những điểm cực đại này. Một số thuật toán làm điều này rất tốt. Ví dụ này sử dụng hàm solver của Excel, nhưng không đảm bảo sẽ tạm được chỉ một điểm cực đại.
     Quy trình như trên cũng dùng để ước lượng mô hình GARCH (1,1), băng cách áp đặt những điều kiện đối với thuật toán cực đại. Các điều kiện của GARCH (1,1) với các hệ số được nói đến ở trên. Tóm tắt lại, các điều kiện của thuật toán cực đại hóa.
      Phương sai dài hạn phải là số dương hoặc 0. Đê’ ước lượng mô hình GARCH, ta sẽ tiếp tục Ị với những điều kiện này và hàm khả năng logarit. Chu ý có thể giảm số các tham số phải : ước lượng bằng cách áp đặt giá trị của phương sai dài hạn. Sử dụng chỉ còn hai tham số còn lại với các biến còn lại.