Nếu như:
Logarit của 1+ R là xấp xỉ bằng R, sử dụng công thức ln(l + R) ≈ R khi R nhỏ. Thu nhập logarit xấp xỉ bằng thu nhập rời rạc và giống nhau khi khoảng thời gian trở nên nhỏ vô cùng. Phép xấp xỉ này bắt nguồn từ công thức khai triển Taylor trong phần phụ lục.
Gộp thu nhập liên tục
Gộp thu nhập logarit trên những khoảng nhỏ được biểu thị bởi những thời điểm 1,2,3 tới t, mỗi khoảng bằng nhau và bằng dẫn tới thu nhập gộp từ 0 tới t. Thu nhập liên tục gộp biến thành một công thức đơn giản:
Gộp thu nhập logarit trên những khoảng nhỏ được biểu thị bởi những thời điểm 1,2,3 tới t, mỗi khoảng bằng nhau và bằng dẫn tới thu nhập gộp từ 0 tới t. Thu nhập liên tục gộp biến thành một công thức đơn giản:
Thu nhập logarit trên nhiều khoảng nhỏ là tổng của những thu nhập logarit trung gian bởi vì logarit của một tích là tổng các logarit:
Đơn giản hóa ký hiệu, thu nhập logarit gộp là tổng của những thu nhập logarit trung gian:
r(0, t ) = r(0,1) + r( 1,2) +… + r(t-1,t)
Cuối cùng, chú ý là r(0,t) = r(0,1) + r(1,2) +…+ r(t-1,t) suy ra:
Đây là những công thức gộp và chiết khấu tương đương với thu nhập rời rạc:
Chú ý là gộp thu nhập rời rạc k lần sẽ dẫn tới tích:
So sánh thu nhập rời rạc và thu nhập liên tục
Hãy dùng ví dụ có hai khoảng thời gian và so sánh thu nhập rời rạc và thu nhập logarit. Thu nhập tích lũy liên tục là:
Thu nhập tích lũy rời rạc là:
Bảng 1.1: thu nhập tích lũy số học thu nhập tích lũy logarit
Ví dụ nếu:
Thu nhập
rời rạc gộp là 8%. Kết quả này rất gần với thu nhập tích lũy rời rạc là ln(V2 /V0) = 7,696% là tổng chính xác của những thu nhập logarit riêng lẻ.
Đọc thêm tại:
