Chúng ta có thể minh họa quá trình của lãi suất ngắn hạn r(i) bằng cách đưa vào những dữ liệu đầu vào cần thiết. Mô phỏng độ trôi của lãi suất ngắn hạn khá đơn giản. Số hạng khuếch tán có phân phối chuẩn và có thể được mô phỏng từ một con số ngẫu nhiên chuẩn đều nhân với độ biến động. Sau đó, ta tích lũy những biến đổi trên những bước thời gian nhỏ. Ví dụ, bắt đầu với r(t)=10%, ta mô phỏng yếu tố “đổi mới” chuẩn chuẩn hóa, -0,7227 từ hàm ngược chuẩn chuẩn hóa và mô phỏng số hạng “đổi mói” bằng cách nhân. Chúng ta có một giá trị mới cho lãi suất ngắn hạn là 4,639%. Bắt đầu với giá trị mói này, chúng ta mô phỏng một lần nữa và tiếp tục. Đường đi của lãi suất ngắn hạn là ngẫu nhiên như được minh họa với 50 bước thời gian dưới đây trong hình 14.5.
Các phương trình dạng đóng Vasicek tính toán giá trái phiếu B(t,T) và lãi suất R(t,T) vào thời điểm t. Giá trái phiếu không trái tức cho phép định chuẩn mô hình với một chuỗi các giá với những kỳ hạn khác nhau. Quá trình định chuẩn đòi hỏi tham số “trở lại giá trị trung bình” từ giá trái phiếu, nhập lãi suất dài hạn và độ biến động của lãi suất ngắn hạn. Một khi tham số “trở lại giá trị trung bình” đã biết, ta sẽ tìm ra cả B(t,T) và R(t,T) từ các công thức. Bằng cách thay đổi R(0,T), chúng ta tìm ra toàn bộ cấu trúc thời hạn của lãi suất không trái tức.
Các phương trình dạng đóng Vasicek tính toán giá trái phiếu B(t,T) và lãi suất R(t,T) vào thời điểm t. Giá trái phiếu không trái tức cho phép định chuẩn mô hình với một chuỗi các giá với những kỳ hạn khác nhau. Quá trình định chuẩn đòi hỏi tham số “trở lại giá trị trung bình” từ giá trái phiếu, nhập lãi suất dài hạn và độ biến động của lãi suất ngắn hạn. Một khi tham số “trở lại giá trị trung bình” đã biết, ta sẽ tìm ra cả B(t,T) và R(t,T) từ các công thức. Bằng cách thay đổi R(0,T), chúng ta tìm ra toàn bộ cấu trúc thời hạn của lãi suất không trái tức.
Những dữ liệu đầu vào là /1=0,3, n =0,1, r(0)=10% tới 1% với các bước 1%. Tốc độ “trở lại giá trị trung bình” được định chuẩn trong ví dụ này từ lãi suất không trái tức đồng Euro sử dụng hàm hợp lý cực đại (maximum likelihood function). Phương trình cho giá trái phiếu và lãi suất là:
Giá trái phiếu và lãi suất phụ thuộc vào những hàm số. Trong ứng dụng này, t = 0, ngày hiện tại.
Cấu trúc kỳ hạn của lãi suất được tạo ra sau khi ta đã định chuẩn quá trình mô phỏng. Chúng có thể đi lên hoặc đi xuống và có những chỗ lồi, tùy vào dữ liệu đầu vào và việc định chuẩn. Với những giá trị như trên, chúng ta có nhiều biểu đổ phụ thuộc vào giá trị ban đầu của r(0), có thể được tạo ra ngẫu nhiên như minh họa ở trên. Giá trị được dùng để tạo ra những biểu đổ này được tóm tắt trong bảng 14.3.
Để tạo ra mỗi biểu đồ, ta bắt đầu với một giá trí ngẫu nhiên của r(0) và tính R(0,T) sử dụng công thức mô hình (hình 14.6).
Mô hình cho phép mô phỏng cấu trúc kỳ hạn của lãi suất. Nó chỉ tùy thuộc vào một nhân tố nên rất hạn chế.
Để mô phỏng lãi suất, với ứng dụng quản lý tài sản nợ (ALM) hay giá trị gặp rủi ro (VaR), cách làm thông thường là dùng phương pháp phân tích thành phân chính, được miêu tả trong chương 32 về những mô hình nhân tố và được sử dụng ở phần sau trong chương về mô phỏng lãi suất (chương 37).
