Độ biến động của một vị thế vừa dựa vào độ nhạy và độ biến động của nhân tố rủi ro. Khi chi có một nhân tố rủi ro, quan hệ này khá đơn giản. Khi có nhiều nhân tố rủi ro, cần phải xem xét độ nhạy của tất cả các nhân tố và tính phụ thuộc của chúng. Tính phụ thuộc được xử lý trong mục 9. Độ biến động đo lường độ lớn của những thay đổi của một biến ngẫu nhiên, ví dụ như thu nhập hay thông số thị trường. Đo lường độ biến động được thảo luận ở chương trước (chương 16). Trong ví dụ này, chúng ta dựa vào thước đó độ biến động lịch sử. Độ biến động lịch sử là độ lệch chuẩn của một chuỗi thời gian các quan sát. Độ biến động lịch sử hàng ngày của lãi suất được tính là độ lệch chuẩn của lãi suất được theo dõi trong 250 ngày làm việc trong một năm.
Giữa những thay đổi giá trị ngẫu nhiên và thay đổi lãi suất ngẫu nhiên có một quan hệ tuyến tính coi như đã biết giá trị ban đầu của trái phiếu và duration của nó và giả định rằng duration xấp xỉ một hằng số. Cả AB và Ai đều là những biến số ngẫu nhiên. Từ quan hệ này, ta thây độ lớn những thay đổi trong giá trị trái phiếu phụ thuộc vào cả độ nhạy và độ lớn thay đổi trong lãi suất. Độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên nhân với một hằng số là tích của hằng số và độ biến động của biến. Quan hệ giữa độ biến động của hai biến ngẫu nhiên.
Để tiếp tục, ta cần có độ biến động hàng ngày của i. Nó có thể được đo lường bằng một con số phần trăm hoặc bằng giá trị tuyệt đối. Hãy sử dụng độ biến động hàng ngày là 0,1% cho lãi suất 2 năm. Độ biến động mang đơn vị tiền tệ giống như giá trị trái phiếu. Giá trị tiền tệ của độ nhạy của trái phiếu không trái tức.
Giữa những thay đổi giá trị ngẫu nhiên và thay đổi lãi suất ngẫu nhiên có một quan hệ tuyến tính coi như đã biết giá trị ban đầu của trái phiếu và duration của nó và giả định rằng duration xấp xỉ một hằng số. Cả AB và Ai đều là những biến số ngẫu nhiên. Từ quan hệ này, ta thây độ lớn những thay đổi trong giá trị trái phiếu phụ thuộc vào cả độ nhạy và độ lớn thay đổi trong lãi suất. Độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên nhân với một hằng số là tích của hằng số và độ biến động của biến. Quan hệ giữa độ biến động của hai biến ngẫu nhiên.
Để tiếp tục, ta cần có độ biến động hàng ngày của i. Nó có thể được đo lường bằng một con số phần trăm hoặc bằng giá trị tuyệt đối. Hãy sử dụng độ biến động hàng ngày là 0,1% cho lãi suất 2 năm. Độ biến động mang đơn vị tiền tệ giống như giá trị trái phiếu. Giá trị tiền tệ của độ nhạy của trái phiếu không trái tức.
Từ độ biến động hàng ngày cho tới VaR hàng ngày
VaR ở một mức độ tin tưởng a là điểm ngắt của những thay đổi lợi nhuận và thua lỗ (P&L) tiêu cực sao cho xác suất P&L thấp hơn điếm ngắt này là a. Đây là bách phân vị a của P&L. Hãy gọi X là P&L ngẫu nhiên. VaR là điểm ngắt của X, x(a) sao cho
Quay lại với ví dụ, việc xác định VaR ở mức độ tin cậy a đòi hỏi xác định phân phối giá trị cho AB. Phân phối chuẩn tiện lợi vì nó được định nghĩa chỉ với hai tham số, giá trị kỳ vọng và độ lệch chuẩn (hay độ biến động). Mức độ tin cậy a hay bách phân vị a trong phân phối chuẩn. Với mỗi mức độ tin cậy a có một độ lệch duy nhất từ giá trị kỳ vọng bằng một bội số của độ lệch chuẩn. Quá trình đòi hỏi xác định phần phối của P&L.
Phân phối chuẩn được chấp nhận với thời gian ngắn hạn và trái phiếu không trái tức với độ nhạy xấp xỉ cố định khi những thay đổi trong lãi suất không quá lớn.
Một tính chất đáng chú ý của phân phối chuẩn là bách phân vị a có thể dược định nghĩa bởi bội số của độ biến động từ phân phối, như trong hình 17.3. Theo khuôn khổ này, định nghĩa VaR rất đon giản. Tìm VaR với mức độ tin cậy 1%, ta chi cần nhân bội số 2,33 ứng với bách phân vị 1% với giá trị của độ nhạy.
VaR hàng ngày bắt nguồn từ độ biến động hàng ngay. Với một số giả định đơn giản, độ biến động tăng tỷ lệ thuận với căn bậc hai của thời gian. H là thời gian của VaR, ta có cộng thức.
Chú ý sử dụng quy tắc căn bậc hai của thời gian chi ứng dụng khi độ nhạy xấp xỉ hằng số. Với quyền chọn, quy tắc này không thể sử dụng. Chi tiết được trinh bày trong các chương 35 & 36 về rủi ro thị trường.
Quay lại với ví dụ, việc xác định VaR ở mức độ tin cậy a đòi hỏi xác định phân phối giá trị cho AB. Phân phối chuẩn tiện lợi vì nó được định nghĩa chỉ với hai tham số, giá trị kỳ vọng và độ lệch chuẩn (hay độ biến động). Mức độ tin cậy a hay bách phân vị a trong phân phối chuẩn. Với mỗi mức độ tin cậy a có một độ lệch duy nhất từ giá trị kỳ vọng bằng một bội số của độ lệch chuẩn. Quá trình đòi hỏi xác định phần phối của P&L.
Phân phối chuẩn được chấp nhận với thời gian ngắn hạn và trái phiếu không trái tức với độ nhạy xấp xỉ cố định khi những thay đổi trong lãi suất không quá lớn.
Một tính chất đáng chú ý của phân phối chuẩn là bách phân vị a có thể dược định nghĩa bởi bội số của độ biến động từ phân phối, như trong hình 17.3. Theo khuôn khổ này, định nghĩa VaR rất đon giản. Tìm VaR với mức độ tin cậy 1%, ta chi cần nhân bội số 2,33 ứng với bách phân vị 1% với giá trị của độ nhạy.
VaR hàng ngày bắt nguồn từ độ biến động hàng ngay. Với một số giả định đơn giản, độ biến động tăng tỷ lệ thuận với căn bậc hai của thời gian. H là thời gian của VaR, ta có cộng thức.
Chú ý sử dụng quy tắc căn bậc hai của thời gian chi ứng dụng khi độ nhạy xấp xỉ hằng số. Với quyền chọn, quy tắc này không thể sử dụng. Chi tiết được trinh bày trong các chương 35 & 36 về rủi ro thị trường.
